洗碗在河边

妇人洗碗在河边，旁人问客有几员？

答曰不知人数目，碗的只数听我言：

一只盛饭二人用，一汤摆在三人前；

四人共食一碗肉，六十五只便周全。

请你仔细算一算，家里客人共几员？

这是依据《孙子算经》上的“荡杯”名题以及我国民间流传的“荡杯”诗题编写而成的。在《孙子算经》上，此题的原文是：“今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰：有客。吏问：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”

题目中的“津吏”，是封建社会里管理河上桥梁的官吏。因河上桥梁在古时称其为“津梁”，故管理“津梁”的官吏便称为“津吏”。题中的“羹”，读音与“耕”音相同；“羹”是有浓汁的食品，可解释为汤；“共羹”，即共用一个汤碗。题目的意思用通俗的话来说，可以是：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：你要洗的碗为什么这么多？妇人回答说：家里来了客人。官吏又问：来了多少客人？妇人说：我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗。请你算算吧，我家的客人有多少个？用什么办法能算出这妇人家里来了多少客人呢？

【答案】我们不妨从每人占用的碗数上来思考、分析。

由题中条件可知，每一个客人占用的饭碗、汤碗和肉碗分别是

所以，每一个客人总共要占用的碗数就是

显然，只要知道这65只总碗数中，包含了多少只“只碗”，便知道客人的人数是多少了。因此，可求得该妇人家里来的客人人数为

综合起来，就是

家里来的客人是60人。

较为有趣的是，《孙子算经》上给出的解法，却与此完全不同：

“置六十五杯以十二乘之，得七百八十。以十三除之，即得解。答曰：六十人。”

古算书解题，无法采用现今之算式，一般都采用这种文字叙述的形式，来讲解算题的解法。如果将这种解法列成今日之算式，则可以是

65×12＝780单位

780÷13＝60（人）

这种解法的算理何在呢？《孙子算经》上没有讲述。我们不妨这样来思考：

因为2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，将其排列起来，就是

2人……1只饭碗

3人……1只汤碗

4人……1只肉碗

由此可以推出：

（注意：12是2、3、4三个数的最小公倍数。）

这就是说，12个客人需要占用的碗数是

6＋4＋3＝13（只）

现在，如果假定每个客人都占用13只碗，那么总的碗数便会扩大12倍，使之变为

65×12＝780（只碗）

于是，只要知道这“780只碗”中，包含了多少只“13只碗”，便知道她家里来了多少客人了。所以，她家里的客人人数就是

780÷13＝60（人）

将这一思路的主要算式写在一起，就是《孙子算经》上的解法了。

65×12＝780

780÷13＝60（人）