百钱买百鸡

百钱买来百只鸡，公母小鸡数不齐；

母一钱三公钱五，三雏钱一价格低。

公鸡母鸡各多少？还有几只是小鸡？

这是依据我国古代《张丘建算经》中的“百鸡问题”算题编写而成的。“百鸡问题”是一道闻名于世界的题目，很有价值，也很有趣味。题目的原文是：“今鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱买鸡百只，问：鸡翁、母、雏各几何？”题目中的“鸡翁”“鸡母”“鸡雏”分别指“公鸡”“母鸡”和“小鸡”。“雏”的读音与“除”音相同，“雏”即幼禽，这里指小鸡。若用通俗的话来说，题目的意思可以是：用100文钱买来100只鸡，公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡1文钱3只。问：在这100只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各是多少只？怎样来解答这道题目呢？

【答案】对于这道题目的解答，《张丘建算经》上给出了如下的解法“术文”与答案。

“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”“答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三；鸡雏八十一，值钱二十七。又鸡翁十二，值钱六十；鸡母四，值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。”

这一简要术文，意思可作如下表示。

公鸡每增加4只：4→8→12→…

则母鸡应每减7只：18→11→4→…

小鸡应每增3只：78→81→84→…

看得出来，《张丘建算经》的解法是先求得第一组（竖的第一列）答案：

公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只。

然后采用“四、七、三增减法”去求其他两组答案。但是，第一组答案是怎样求得的呢？这种“增减方法”又是怎样找到的呢？书上没作任何交代。据后人推测，这可能都是由实验得到的。因为

（增加数）　（减少数）

4只＋3只＝7只……增减后，鸡的数目相等；

文……增减后，钱数也相等。

所以，只有这样，得数才比较容易搭配出来。

在《张丘建算经》以前的古算书上，从来没有出现过这种“一题三答”的题目。这一点，是张丘建在数学上的伟大贡献。

现在解这种题目，一般都是运用“不定方程”的知识来解答的。那么没有学过代数知识的读者，能否将它解答出来呢？

回答是肯定的。我们完全可以用一种比较简单的方法来推算出题目的答案。

首先，我们可假定公鸡的只数为0。这样，题目就变成了：

用100文钱买100只鸡。母鸡3文钱买1只，小鸡1文钱买3只。问：买来的100只鸡中，母鸡和小鸡各是多少只？

实际上这就是个“鸡兔问题”了，我们可以用“假定、置换”办法将它解答出来。

假定100只全部是小鸡，则用去的钱数是

比实际用去的100文少：

再用“置换”方法，即可求得母鸡的只数为

小鸡的只数便是100－25＝75（只）。

这样一来，我们就得到了一组与原来题意不相符合的答案：

为使答案符合题意，应使公鸡数增加，不使其为0。办法是：在这一组答案的基础上，找出一种推算办法——“每次当公鸡增加4只，母鸡减少7只，小鸡增加3只”的时候，3种鸡的总数100只和它们需要的总钱数100文，都不会发生变化。

依据这一办法（或规律），我们便可推出本题的答案如下表所示。

显然，符合题意的答案，只有表中标明了的那三组。