长平各几何

直田长与平之和，九十二步全包罗；

地积八亩五分五，长平步数各几何？

这是依据元代大数学家朱世杰著述的《算学启蒙》一书中的“长平各几何”一题编写而成的。原来的题目是：“今有直田八亩五分五厘，只云长平和得九十二步，问长、平各几何？”题目中的“直田”，即长方形田；“平”即长方形的宽；“只云长平和”中的“只云”，即“只知道”的意思，“长平和”，就是长与宽的和。题目的意思比较明白，不必另作说明。

解答前，我们应先搞清楚“亩”与“平方步”之间的换算关系。我国古代自“商鞅变法”以后，便废除了以前的100平方步为1亩的规定，而改用“1亩＝240平方步”的制度。据此，可知题中的“八亩五分五厘”，就是

8亩5分5厘＝8.55亩＝240平方步×8.55＝2052平方步

请你解答一下此题。

【答案】仿杨辉的示意图，也可画一个此题的示意图如下。

从图中可以看出，用4个长方形田（直田）组成的大正方形的面积是92×92＝8464（平方步）。而周围的4个长方形田面积共是

2052×4＝8208（平方步）

故正中心的小正方形的面积就是

8464－8208＝256（平方步）

再由

256＝2×2×2×2×2×2×2×2＝（2×2×2×2）×（2×2×2×2）＝16×16

可以知道，正中心的小正方形的边长就是16步。

然后，用“和差问题”的解题方法，即可求得这直田的长为

（92＋16）÷2＝108÷2＝54（步）

这直田的宽为

（92－16）÷2＝76÷2＝38（步）

即直田的长为54步，宽为38步。