1.2　配套考研真题解析

一、填空题

1多项式f（x）除以ax－b（a≠0）所得余式为______．[中国人民大学研]

【答案】

【解析】设，将代入上式，得．由商式和余式的唯一性即得．

2．设α，β，γ是方程x³＋px＋q＝0三个根，则行列式．[湖北大学2001研]

【答案】0

【解析】原行列式＝．其中，

．

二、证明题

1设ｎ≥2，是关于次数小于或等于n－2的多项式，为任意数，证明：行列式

并举例说明条件“次数≤n－2”是不可缺少的．[西北大学2010研]

证：令

下证多项式F（x）＝0．不然，则，但是，即F（x）有n－1个根，矛盾，故F（x）＝0，则

反例：n＝2时，，则

2设是整系数多项式，证明：若ac＋bc为奇数，则f（x）在有理数域上不可约．[华东师范大学研]

证：设f（x）能分解成两个次数均小于3的多项式之积，因，且f（x）∈Z[x]，则存在整数p，m，n，使

从而有

a＝p＋m，b＝pm＋n，c＝pn

又因c（a＋b）为奇数，所以c与a＋b均为奇数，这样由可知必有p为奇数，a与b中有一个奇数，一个偶数．

所以－p³＋ap²－bp＋c为奇数，与－p³＋ap²－bp＋c＝0矛盾．

三、计算题

1，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]

解：，且，则

（1）当时，有

所以x＋2是的三重因式，即，这时的三个根为－2，－2，－2．

（2）若p≠4，则继续辗转相除，即

当时，有

即x－1是的二重因式，再用除得商式x＋8．故

这时的三个根为1，1，－8．

2试就实数域和复数域两种情况，求f（x）＝xⁿ＋x^n－1＋…＋x＋1的标准分解式．[北京大学研]

解：令，则

　（1-1）

其中．

（1）由式（1-1）知f（x）在复数域中的标准分解式为

（2）在实数域中，因，则：

当n为偶数时其标准分解式为

当n为奇数时其标准分解式为