3.2　课后习题详解

一、思考题

1债券的价值由什么决定？为什么？

答：债券是由企业、金融机构或政府发行的，表明发行人（债务人）对其承担还本付息义务的一种债务性证券，是企业和政府对外进行债务融资的主要工具。债券的价值由其未来现金流入量的现值决定。一般来讲，债券属于固定收益证券，其未来现金收入由各期利息收入和到期时收回的面值两部分组成。

2债券的票面利率与到期收益率的区别是什么？

答：债券的票面利率是债券持有人定期获取的利息与债券票面价值的比率。债券利率的高低由债券发行者决定。债券发行者在确定债券利率时要考虑市场利率、债券的偿还期限、自身资信状况以及资本市场资金供求关系等因素的影响。

债券的到期收益率也是债券的折现率，即按照现值买入债券并持有到期可获得的收益率。通常我们事先可以知道债券的票面利率，但是债券的到期收益率是未知的，我们通常只能够根据债券的价格、面值、票面利率等条件来求出债券的到期收益率。

3为什么债券可以溢价和折价发行？

答：如果债券的票面利息率高于同类债券的市场利息率，则债券的价格高于其票面值；如果债券的票面利息率等于同类债券的市场利息率，则债券的价格等于其票面值；如果债券的票面利息率低于同类债券的市场利息率，则债券的价格低于其票面值。产生上述情况的原因并不复杂，同类债券的市场利率是投资者持有该类债券所要求的收益率，当债券的票面利率低于这一收益率时，投资者会降低购买债券的价格，以使自己的实际收益达到所希望的水平。当债券的票面利率高于这一利率时，投资者会竞相购买，使债券的价格上升，实际收益率下降，直到达到所要求的收益率时为止。债券之所以可以折价或者溢价发行，主要就是因为票面利率与市场利率不同导致的。

4什么是债券的利率风险？

答：债券的价值由它的面值、票面利息率、到期期限和同类债券的市场利率（到期收益率）四个因素决定。其中债券的面值和票面利率在债券发行时就已确定，债券发行后无法更改，而债券的到期期限和市场利率在债券发行后是不断变化的。当市场利率变化时，债券的价值就会发生变化。这种由市场利率变化导致的债券价值（价格）的不稳定，即为债券的利率风险。

债券的利率风险主要表现在两个方面：

（1）价格风险，即债券价格会因市场利率变化而变化；

（2）再投资风险，即因市场利率的变化使债券的利息收益在进行再投资时的收益具有不确定性。

债券的利率风险与它的票面利率和到期期限相关。

5什么是债券的久期？它有什么意义和作用？

答：久期又称为债券的持续期，其定义为：

式中：分子是以债券各期现金流量的现值CF_t/（1＋r）^t与相应的期限t的乘积，也就是根据各次支付的时间加权的债券未来现金流量的现值。分母是债券未来收益的现值，即债券的价格P。

久期是在现值的基础上衡量的债券的平均期限，久期越长，表明债券收回投资的平均期限越长。债券的期限越长，其利率风险越大。由于久期同时考虑了利率变动对债券到期日的现金流量和各期利息支付的数值的影响，因此，具有同样久期的债券，尽管它们的到期期限和票面利率可以有所不同，但它们的价格对利率变化的反应却非常相似。所以，久期是一种对债券风险的测度。

6什么是利率的期限结构？它反映了什么样的经济本质？

答：债券的期限不同，其利率通常也有所不同。一般来讲，短期债券的利率小于长期债券的利率，即一年期债券的利率小于两年期债券的利率，两年期债券的利率又小于三年期债券的利率。长短期债券利率之间的这种关系，称为利率的期限结构。

利率的期限结构对企业债务融资和投资者进行债券投资都具有重要的作用。对筹资者来说，要根据对未来利率期限结构变化的预期，决定是借入短期债务还是长期债务。对投资者来说，则要根据对利率期限结构变化的预期决定是进行短期债券投资还是进行长期债券投资。

二、计算题

1当市场利率为12%时，面值为1000元、票面利息率为8%、每年年末付息一次、期限12年的债券的价格应是多少？

解：每年末现金流＝1000×8%＝80（元）

利率为12%、期数为12的年金现值系数＝6.1944，复利现值系数＝0.2567

债券的价格＝6.1944×80＋1000×0.2567＝495.552＋256.7＝752.25（元）

2某电子公司发行一期限为8年、面值1000元、票面利息率9%、每半年付息一次的企业债券。如果你对此债券所要求的投资收益率为8%，你认为债券的发行价格应为多少？

解：每半年的现金流入＝1000×9%×6/12＝45（元）

利率为4%、期数为16的年金现值系数为11.6523，复利现值系数为0.5339

债券的发行价格＝45×11.6523＋1000×0.5339＝1058.25（元）

3某投资者愿意以900元的价格买入一期限10年、面值1000元、票面利息率8%、每半年付息一次的企业债券，请问该投资者要求的投资收益率是多少？

解：因为该债券是折价发行，所以投资者要求的收益率要高于票面利率，

假设投资者要求的收益率为10%，则现在的债券价格为

各期现金流＝1000×8%×6/12＝40（元）

利率为5%、期数为20的年金现值系数为12.4622，复利现值系数为0.3769

债券价格＝40×12.4622＋1000×0.3769＝875.388（元）＜900元

利用插值法求得：

投资者所要求的收益率＝8%＋[（1000－900）/（1000－875.388）]×2%≈9.6%

4A、B、C三个债券各面值为1000元，期限均为5年，但还本付息方式不同，A债券为每年等额还本付息；B债券每年付息，期末一次性还本；C债券则在期末一次性还本付息。三个债券都保证按面值提供12%/年的收益率（复利），它们还本付息的现金流量如下表所示：

求：

（1）当市场利率为12%时，三个债券的久期；

（2）当市场利率为20%时，三个债券的久期。

解：（1）当市场利率为12%时：

A债券的现值＝277.41×3.6048＝1000（元）

A债券的久期＝（1×277.41×0.8929＋2×277.41×0.7972＋3×277.41×0.7118＋4×277.41×0.6355＋5×277.41×0.5674）/1000＝2.77（年）

B债券的现值＝120×3.6048＋1000×0.5674＝1000（元）

B债券的久期＝（1×120×0.8929＋2×120×0.7972＋3×120×0.7118＋4×120×0.6355＋5×1120×0.5674）/1000＝4.04（年）

C债券的现值＝1000（元）

C债券的久期＝5×1762.34×0.5674/0.5674＝5（年）

（2）当市场利率为20%时：

A债券的现值＝277.41×2.9906＝829.62（元）

A债券的久期＝（1×277.41×0.8333＋2×277.41×0.6944＋3×277.41×0.5787＋4×277.41×0.4823＋5×277.41×0.4019）/829.62＝2.64（年）

B债券的现值＝120×2.9906＋1000×0.4019＝760.77（元）

B债券的久期＝（1×120×0.8333＋2×120×0.6944＋3×120×0.5787＋4×120×0.4823＋5×1120×0.4019）/760.772＝3.89（年）

C债券的现值＝1762.34×0.4019＝708.28（元）

C债券的久期＝5×1762.34×0.4019/708.28＝5（年）

5某公司同时发行两种债券，两种债券面值都是1000元，每年付息一次，每次付息100元。债券A还有10年到期，而债券B还有1年到期。如果市场利率是6%、7%、8%，两只债券的价格分别是多少？为什么市场利率变化时长期债券比短期债券价格变化更大？

解：当市场利率是6%时：

债券B的价格＝1100/（1＋6%）＝1100×0.9434＝1037.74（元）

当市场利率是7%时：

债券A的价格＝100×7.0236＋1000×0.5083＝1210.66（元）

债券B的价格＝1100×0.9346＝1028.06（元）

当市场利率是8%时：

债券A的价格＝100×6.7101＋1000×0.4632＝1134.21（元）

债券B的价格＝1100×0.9259＝1018.49（元）

债券到期期限对其利率风险有影响的原因在于：债券价值的很大一部分是通过收回债券面值来实现的，债券期限越长，收回面值的时间越晚，其现值受利率变化的影响越大。长期债券比短期债券承担的风险高，由于期限较长，利率变化对其影响较大，所以长期债券的现值也会比短期债券的变动幅度要大。

6某公司的发行面值为1000元的4年期债券，债券每年付息一次，票面利息率为9%。当债券的价格分别为830元和1100元时，债券的到期收益率是多少？如果市场上同类债券的收益率是12%，你是否愿意为这只债券支付830元？

解：（1）当债券价格为830元时，假设其到期收益率为10%，则

债券现值＝1000×9%×3.1699＋1000×0.683＝968.291（元）

按照插值法，得其到期收益率＝9%＋[（1000－830）/（1000－968.291）]×1%≈14.36%

（2）当债券价格为1100元时，假设其收益率为5%，则

债券现值＝90×3.5460＋1000×0.8227＝1141.84（元）

按照插值法，得：

其到期收益率＝9%－[（1000－1100）/（1000－1141.84）]×4%≈6.2%

（3）因为债券价格为830元时，其到期收益率为14.36%，远远高于市场上同类债券的收益率，所以愿意支付830元。

7某公司为了长期筹资发行10年期面值为1000元的债券，票面利率定为10%，每半年付息一次。

（1）若两年之后市场利率下降到8%，公司的债券价值应当是多少？

（2）若两年之后市场利率上升到12%，公司债券的价值又应当是多少？

（3）如果市场利率在两年之后下降到8%，此后一直保持8%不变，那么从第二年到债券到期，债券的价格将怎样变化？

解：（1）若两年后市场利率为8%，则：

债券价值＝50×11.6523＋1000×0.5339＝1116.52（元）

（2）若两年后市场利率为12%，则：

债券价值＝50×10.1059＋1000×0.3936＝898.90（元）

（3）第三年：

债券价值＝50×10.5631＋1000×0.5775＝1105.65（元）

同理可得：第四年至第十年的现值分别为1093.85元、1081.14元、1067.33元、1052.4元、1036.3元、1018.9元、1000元。

可见：债券的价值越来越接近其票面价值。

8某公司1994年1月发行票面利率为5%、按年计息的30年期债券。到2007年1月，市场利率上升，债券的价格从1000元下降到650元。

（1）若债券最初按照1000元面值出售，债券发行时的到期收益率是多少？

（2）2007年1月债券的到期收益率是多少？

（3）2007年1月时债券是折价出售的，随着债券逐步接近到期日，债券的价格会如何变化？投资者是否会逐步获得资本利得？

解：（1）若债券按照面值平价发行，则其到期收益率应该就等于票面利率，即为5%。

（2）假设2007年1月的债券到期收益率为10%，则此时：

债券价值＝50×8.0216＋1000×0.1978＝598.88（元）

根据插值法得：

债券的收益率＝5%＋[（1000－650）/（1000－598.88）]×5%＝9.3%

（3）随着债券逐步接近到期日，债券价格会逐步接近债券的票面价值，投资者逐步获得资本利得。

9某债券投资者购买了10年期年息10%的债券、5年期零息债券、10年期零息债券和年息10%的无限期债券各1份，债券面值均为1000元。购买债券时的市场利率是8%。如果第二天市场利率上升到9%，每只债券的价格变化幅度有多大？

解：（1）当市场利率是8%时：

10年期年息为10%的债券的价格＝100×6.7101＋1000×0.4632＝1134.21（元）

5年期零息债券的价格＝1000×0.6806＝680.6（元）

10年期零息债券的价格＝1000×0.4632＝463.2（元）

无限期债券的价格＝100/0.08＝1250（元）

（2）当市场利率为9%时：

10年期年息为10%的债券的价格＝100×6.4177＋1000×0.4224＝1064.17（元）

5年期零息债券的价格＝1000×0.6499＝649.9（元）

10年期零息债券的价格＝1000×0.4224＝422.4（元）

无限期债券的价格＝100/0.09≈1111.11（元）

（3）价格变化幅度：无限期债券＞10年期付息＞10年期零息＞5年期零息；

价格变化率：无限期债券＞10年期零息＞10年期付息＞5年期零息。

10某投资者购买了期限为3年的两种债券，面值均为1000元，到期收益率均为9%。债券A每年付息一次，票面利率为10%；债券B为零息债券，到期支付1000元。如果市场利率保持9%不变，分别求债券A、B在第0、1、2、3年末的价格。

解：（1）A债券第0年末即第一年初的价格＝100×2.5313＋1000×0.7722＝1025.33（元）

A债券第1年末的价格＝100×1.7591＋1000×0.8417＝1017.61（元）

A债券在第2年末的价格＝100×0.9174＋1000×0.9174＝1009.14（元）

A债券在第三年末的价格应为1000，因为未来不会再有利息流入了。

（2）B债券第0年末即第一年初的价格＝1000×0.7722＝772.2（元）

B债券第1年末的价格＝1000×0.8417＝841.7（元）

B债券在第2年末的价格＝1000×0.9174＝917.4（元）

A债券在第三年末的价格应为1000，等于其票面价值。