3.3　强化习题详解

1已知效用函数为u（x₁，x₂）＝min{x₂＋3x₁，x₁＋3x₂}，p₁＞0，p₂＞0。

（1）画出代表“u（x₁，x₂）＝20”的那条无差异曲线。

（2）当p₁/p₂满足什么条件时，必有x₁^*＝0？

（3）当p₁/p₂满足什么条件时，必有x₂^*＝0？

（4）如x₁^*和x₂^*都不可能为零，则在最优点，x₁^*/x₂^*为何值？这个均衡点（x₁^*和x₂^*都为正）唯一吗？为什么？

解：（1）将效用函数表示成如下形式：

则u（x₁，x₂）＝20对应的那条无差异曲线如图3-16所示：

图3-16　无差异曲线

（2）由图3-16容易看出，当p₁/p₂＞3时，必有x₁^*＝0。

（3）当0＜p₁/p₂＜1/3时，必有x₂^*＝0。

（4）当x₁^*，x₂^*都不能是零的时候，必有1/3＜p₁/p₂＜3，这时最优点为（x₁^*，x₂^*）＝（5，5），x₁^*/x₂^*＝1。这个均衡点是唯一的。因为只有当p₁/p₂＝3或p₁/p₂＝1/3时才可能有多个均衡点，但这时x₁^*，x₂^*有可能是零，与题意不符。

2某人只购买两种商品：鸡蛋和葡萄酒。星期一，此人的最优选择为M点；星期二，鸡蛋价格上涨，葡萄酒价格不变，此人的最优选择为T点；星期三，鸡蛋的价格回落到星期一的水平，而葡萄酒价格则有了提高，但此人在最优选择点的效用水平仍保持在星期二的水平。该人的收入在以上三天内保持不变。问：如果此人在星期三购买的鸡蛋少于星期一，那么对他来说，鸡蛋是属于正常品，劣质品但非吉芬（Giffen）品，还是吉芬品？请画图，并说明理由。

答：根据题意，得到图3-17。

图3-17　消费者的选择

已知星期三的最优点S的鸡蛋消费少于星期一的，即X_S＜X_M。假设星期四消费者也进行了消费，并且与星期一相比，星期四这一天两种商品的价格同比例上升（相当于收入减少而价格都不变），但最优点K的效用仍和星期二和星期三的最优点的效用相同，则由净替代效应为负可知X_K＜X_S。从而X_K＜X_M，因此鸡蛋是正常品。

3用无差异分析法分析免费发给消费者一定量的实物与发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金：哪一种给消费者带来更高的效用，为什么？

答：免费发给消费者一定量的实物与发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，前者为实物补贴，后者为所得补贴，也称现金补贴，由于这两种情况下消费者的预算集不相同，从而给消费者带来的效用不同。

如图3-18所示，开始时消费者的预算约束线为AB，当免费发给消费者AC量的实物，且不允许将实物转卖为现金时，消费者的预算约束线为折线CDB，如果免费发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，则消费者的预算约束线为CF。

当对消费者进行现金补贴的时候，如果无差异曲线和CD段的预算约束线相切，那么发放现金和发放实物给消费者带来的效用相同。

当对消费者进行现金补贴的时候，如果无差异曲线和DF段的预算约束线相切，那么实物补贴只能使消费者选择D点代表的消费，此时消费者最大效用只能达到U₃，所以这种情况下，发放现金比发放实物给消费者带来更大的效用。

图3-18　发放现金和发放实物给消费者带来的效用比较

4（1）张大山的偏好关系的无差异曲线由下列函数表达：

其偏好满足严格凸性吗？为什么？

（2）李经理的偏好关系的无差异曲线由下列函数表达：

u（x₁，x₂）＝min{x₁，x₂}＝c

该偏好满足单调性吗？满足凸性吗？满足严格凸性吗？为什么？

（3）崔大牛的偏好关系的无差异曲线由下列函数表达：

u（x₁，x₂）＝x₁²＋x₂²＝c

该偏好满足单调性吗？满足凸性吗？为什么？你能从生活中举出一个例子对应这种偏好关系吗？

解：（1）该偏好满足严格凸性，理由如下：

无差异曲线的图像如图3-19所示，可知其偏好满足严格凸性。

图3-19　无差异曲线

将无差异曲线

转化为

则有：dx₂/dx₁＝1－cx₁^－1/2＜0，d²x₂/dx₁²＝cx₁^－3/2/2＞0。

则满足这种性质的函数会严格凸向原点，故其偏好必定满足严格凸性。

（2）该偏好满足单调性，满足凸性，但不满足严格凸性。理由如下：

根据函数可大致画出图像，如图3-20所示。

图3-20　互补效用函数

偏好的单调性是指，如果一个消费组合所包含的每种商品的数量至少同另一个消费组合一样多，则这个消费组合至少同另一个消费组合一样好。设有两个消费组合x＝（x₁，x₂）和y＝（y₁，y₂），且x≥y，则一定会有（x₁，x₂）≽（y₁，y₂），亦即u（x）≥u（y），根据偏好的单调性可知该偏好满足单调性。

由图3-20可知，该无差异曲线不凹向原点，而是凸向原点，则该偏好满足凸性。

对于满足严格凸性的偏好，其MRS的一阶导函数连续，其无差异曲线应为一条圆滑的曲线，一定没有直线部分，所以该偏好不满足严格凸性。

（3）其偏好满足单调性，不满足凸性，理由如下：

对效用函数u（x₁，x₂）＝x₁²＋x₂²求x₁和x₂的一阶偏导，解得：

∂u/∂x₁＝2x₁＞0，∂u/∂x₂＝2x₂＞0

则该偏好满足单调性。

u（x₁，x₂）＝x₁²＋x₂²＝c的图像如图3-21所示，由图形可知该无差异曲线不凸向原点，则该偏好不满足凸性，更不满足严格凸性。

图3-21　效用函数

举例说明：两种物品都喜欢，但组合在一起的效用反而不如分开时好，如某人喜欢喝咖啡和茶，但若两种组合在一起消费，则效用比原来降低了。