第 5 章　使用矩阵计算变换

本章内容

• 将线性变换写成矩阵
• 用矩阵相乘来组合并应用线性变换
• 用线性变换操作不同维度的向量
• 使用矩阵平移二维向量或三维向量

我在第4章的结尾提出了一个很重要的思想：任何三维线性变换都可以只用3个向量或9个数来指定。正确选择这9个数，可以实现绕轴旋转、平面反射、平面投影、缩放，或者其他任意三维线性变换。

“绕轴逆时针旋转90°”的变换可以被等价描述为对标准基向量、和的作用。也就是说，结果是(0, 1, 0)、(-1, 0, 0)和(0, 0, 1)。无论是以几何学的方式还是以3个向量（9个数）的方式思考这个变换，它都是同一个对三维向量进行操作的虚拟机器（见图5-1）。虽然实现方式可能不同，但这些机器产生的结果别无二致。

图5-1　两台机器执行相同的线性变换。几何推理为上面的机器提供动力，而9个数则为下面的机器提供动力

排列在网格中、用于说明如何执行线性变换的数被称为矩阵。本章重点介绍如何使用这些数字网格作为计算工具，因此包含的数字运算比前几章多了一些。不要被吓到！归根结底，我们仍然只是在进行向量变换。

矩阵可以利用对标准基向量的操作数据，计算给定的线性变换。本章的所有表示法都是为了组织这个过程，4.2节已经介绍过了，这里并没有引入任何其他陌生的概念。学习新的表示法虽然痛苦，但是有回报。最好将向量看作几何对象或数字元组。同样，将线性变换看作数字矩阵，可以拓展我们的心智模型。