1.3　导数的应用

1.3.1　单调性与极值点

首先，大家熟知的是，可以借助导数判断函数 的单调性.

● 若 ，则 单调递增；

● 若 ，则 单调递减；

● 若 ，则 的单调性需要进一步判断.

对于一些比较复杂的函数而言，通过求导数判断单调性，比直接通过定义判断来得容易得多.

例1.6　设函数 ，判断 的单调性.

解答　计算得 ，有 . 当 时 ，当 时 ，故 在 内单调递减，在 内单调递增.　　■

我们知道，函数的最大值和最小值，指的是函数值的最大取值和最小取值.另外，高中教材也给出了函数的极大值和极小值的概念.许多人对函数的极大值的理解是“导函数有变号零点”，即导函数存在某个零点 ，且导函数图像在 轴上穿过零点对应的点 .然而，极值点的严格定义是函数在某个开区间上的最值点，这个是大家很容易忽略的.

定义 1.2 (极值点与极值)　函数 在某个开区间 上的最大值点称为极大值点，最小值点称为极小值点，对应的函数值分别称为极大值和极小值.

通过上面的介绍，我们知道，导数可以用于判断函数的单调性和极值，可以给出如下的极值点的判断方法:

● 若 ，且在 附近有 ，即在 附近有

则 为 的极小值点，为 的极小值；

● 若 ，且在 附近有 ，即在 附近有

则 为 的极大值点，为 的极大值.

事实上，如果 ，则 与 同号，即当 时 ，而当 时 ，这就说明了 是 的极小值点.在做题时，有时候会出现多个式子相乘后与 0 比较大小的不等式，这个时候也应该用类似的方法.

再进一步，如果函数的二阶导数存在，可以进一步对函数求二阶导数，并有如下的判断方法:

● 若 ，则 为 的极小值点；

● 若 ，则 为 的极大值点.

以第一种情况为例，如果 ，那么 应该在 附近单调递增，这使得当 时有 ，而当 时有 ，因此 为 的极小值点.

例1.7　设函数 ，求 的极小值点和极小值.

解答　根据上例，知 是 的极小值点，极小值 .　　■

许多高考题只需要对函数的单调性进行分析就可以解决，见下面的真题.

真题1.5(取自2020 年 II 卷文数)　已知函数 .

（1）若 ，求 的取值范围；

（2）设 ，讨论函数 的单调性.

解答　（1）根据 ，令 ，其中 ，计算得

，

因此 在 内单调递增，在 内单调递减..因此 的取值范围是 .

（2）此时 ，其中 且 ，计算得

.

令 ，计算得

,

因此 在 内单调递增，在 内单调递减，，从而 ，这说明了 在 和 内单调递减.　　■

下面的题目涉及极值点，但是因为函数较为复杂，难度较大.

真题1.6(取自 2018 年 III 卷理数)　已知函数 .

（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；

（2）若 是 的极大值点，求 .

第一问不难，只需要判断函数 的单调性即可.在后面我们会指出，这一问涉及的是一个非常重要的不等式；第二问有多种做法，一方面可以采取多次求导的方式，另一方面可以令

，

则当 时，的极大值点也是 的极大值点，从而简化了求解过程.

解答　（1）当 时，，计算得

，

因此 在 内单调递减，在 内单调递增，，因此 在 内单调递增.注意到 ，因此当 时 ，而当 时 .

（2）若 ，则由 （1）知，当 时，有

，

此与 是 的极大值点矛盾.以下设 ，当 时，有 ，令

，

则 ，当且仅当 是 的极大值点时，是 的极大值点.计算得

.

考虑函数 ，其中 ，则 ，由此进行讨论.

（ⅰ）若 ，则

，

从而 在 内单调递增，在 内单调递减，是 的极大值点；

（ii）若 ，则 在 0 附近单调递增[5]，此与 是极大值点矛盾；

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［5］　这里 是二次函数，若不放心，可以利用求根公式求出其零点，并且结合图像判断正负.

（iii）若 ，则 在 0 附近单调递减，此与 是极大值点矛盾.综上，.　　■