1.2.1　连续介质力学基本方程

1．连续方程

质量守恒定律可以通过如下方式表述：取一个极小的流体控制空间，其在3个维度上的尺度分别为dx、dy和dz，如图1-2所示。

图1-2　使用流体控制空间进行质量守恒定律的连续方程的推导

在此空间中以及在一段时间dt内，流体质量的增加会导致流体密度的增加。省略推导步骤，质量守恒定律的连续方程可以写作：

（1-2）

上式中t表示时间，i表示x、y或z的方向。其中，方程左侧第一项表示密度变化，第二项表示质量流量的减少（对应图1-2中净流出的部分），右侧的q则是空间中分布的质量源。

2．动量方程

牛顿第二定律最为知名的表达方式为：当外力作用于质量为m的物体时，此物体产生加速度。这3个物理量之间的关系表达如下：

（1-3）

以上公式实际是基于物体的质量不随时间变化的假设。在去除这项假设条件后的更一般条件下，牛顿第二定律可写为：

（1-4）

这里，是物体的速度矢量，mv是物体的动量。下面将此定律应用在之前推导质量守恒定律的连续方程时使用的控制体积上。此单元体积（dxdydz）在时间段dt内，动量的改变量表达为：

（1-5）

动量的改变一方面源于穿过体积表面的动量净流量，另一方面则源于作用于该体积上的外力。

首先考虑外力对该体积的作用。省略推导步骤，在i方向的外力可以表达为作用于该体积表面上所有方向的应力张量的合力：

（1-6）

对于无黏性流体：

（1-7）

（1-8）

这样，对于无黏性流体，唯一作用在单元体积上的外力即表面压力（见图1-3）。

图1-3　作用在（无黏性）流体单位体积上的外力

接下来考虑动量流量（见图1-4）。使用指标符号，可以将质量流量写为：

（1-9）

图1-4　单位体积中动量的净流量

将公式（1-5）写成表达式（1-6）和表达式（1-9）各项的和，可以得到如下动量方程：

（1-10）

套用连续方程（1-2），这样上式可进一步写成：

（1-11）

公式（1-10）和公式（1-11）完全等效。当质量源q=0时，通常使用公式（1-11），并将其进一步表达为：

（1-12）

3．状态方程

连续方程（1-2）和动量方程（1-11）分别在x方向、y方向、z方向以及时间t上做偏微分，可以组成4个偏微分方程，包含5个未知量：密度、压力p和速度矢量的3个分量。这里还缺少一个方程用来将方程组封闭。这个方程就是状态方程。

空气的状态方程为理想气体定律（p = nρRT），但这又增加了第6个未知量，绝对温度T。假设声波的压缩-膨胀循环周期中不涉及热交换（绝热过程），温度项即可以被消去。在绝热过程中，理想气体从一种状态（p₁,）到另一种状态（p₂,）变换的过程遵循如下关系式：

（1-13）

上式中，为气体的比定压热容与比定容热容之比。对于双原子气体（如氧气O₂、氮气N₂），此 γ 值为7/5。公式（1-13）封闭了由连续方程和动量方程组成的方程组，这样我们就有了 5个方程和5个未知量。