第1章　波函数与Schrödinger方程

1.1　复习笔记

一、波函数的统计诠释

1．实物粒子的波动性

de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为

并称之为物质波（matter wave）．

2．波粒二象性的分析

（１）包括波动力学创始人Schrödinger，de Broglie等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．

（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．

然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．

3．概率波，多粒子体系的波函数

把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Born（1926）提出的概率波．

表征在r点处的体积元中找到粒子的概率．这就是Born提出的波函数的概率诠释．它是量子力学的基本原理之一．

根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为1，即要求波函数ψ（r）满足下列条件

这称为波函数的归一化（normalization）条件．

归一化条件就可以简单表示为

（ψ，ψ）=1

4．动量分布概率

动量分布概率密度即．

5．不确定性原理与不确定度关系

不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Heisenberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映．

6．力学量的平均值与算符的引进

令

称为动量算符．

l是一个矢量算符．它的三个分量可以表示为

一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出

是与力学量A相应的算符．如波函数未归一化，则

与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为

7．统计诠释对波函数提出的要求

统计诠释赋予了波函数确切的物理含义．根据统计诠释，究竟应对波函数ψ（r）提出哪些要求?

（1）根据统计诠释，要求|ψ（r）|²取有限值似乎是必要的，即要求ψ（r）取有限值．

（2）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）

但概率描述中实质的问题是相对概率．因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数．

（3）按照统计诠释，要求|ψ（r）|²单值．是否由此可得出要求ψ（r）单值?否．

（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性．

二、Schrödinger方程

1.Schrödinger方程的引进

在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schrödinger波动方程，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律．

2.Schrödinger方程的讨论

（１）定域的概率守恒

对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变．即

（1）

（1）式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同．

（2）初值问题，传播子

Schrödinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系，取初始时刻为t^‘，则t时刻波函数可以表示为

式中

称为传播子（propagator）．可以证明

就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅．

3．能量本征方程

以下讨论一个极为重要的特殊情况——假设势能V不显含t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）．

其中ψ_E（r）满足下列方程：

（2）

在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的．这些E值称为体系的能量本征值（energy eigen value），而相应的解ψ（r）称为能量本征函数（energy eigen unction）．方程（2）就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schrödinger方程．

不同的能量本征值相应的本征函数是正交归一化的（设E取离散值），即