1.1　近世代数

1.1.1　矢量算符

算符即运算符号，如、∑、、ln等都是初等算符。矢量的加号、减号、内积符号、叉积符号等都是矢量算符。本节要介绍的矢量算符包括梯度算符、环量和通量。

1．梯度算符

梯度算符在物理学中被称为哈密顿算符，在三维直角坐标系中为

它可以简写为

由此可见，梯度算符是一个矢量算符。两个梯度算符的内积叫作拉普拉斯算符，以∆表示，即

梯度算符作用于标量场Φ，得

结果仍是一个矢量，称为标量场Φ的梯度。所以梯度遵守矢量的所有性质。

梯度算符作用于矢量场，取内积，称为矢量场的散度，即

相当于两个矢量的对应分量相乘，结果是一个标量。所以散度遵守标量的所有性质。式（1.1.4）可简写为

梯度算符作用于矢量场，取叉积，称为矢量场的旋度，即

所以旋度也是一个矢量，遵守矢量的所有性质。

旋度的散度为

证明：

用类似的方法可证下列各式：

这表明标量梯度的散度等于标量的二阶偏导，而标量梯度的旋度等于零。此外，矢量旋度的散度等于零，矢量旋度的旋度不为零，即

梯度算符在不同的坐标系中具有不同的表现形式。例如，在柱面坐标系中为

在球面坐标系中为

在上述两种坐标系中，标量场Φ的梯度分别为

矢量场A的散度分别为

矢量场A的旋度分别为

标量场Φ的拉普拉斯分别为

2．环量和通量

矢量沿封闭曲线的线积分叫作环量，定义为

该积分在直角坐标系中为

在物理上，环量即矢量场中的流体沿闭合曲线的路径积分，可表示为

式中，V是流体的速度；C是环绕路径长度；表示流体沿闭合曲线的路径积分。

环量的量纲为。若构成矢量场的区域单连通，则曲面有正、反两面。设曲面S上某点的法线方向单位矢量为n，矢量面元为，则在三维直角坐标系中，标量场Φ的通量为

矢量场的标通量为

矢量场的矢通量为

1.1.2　张量代数

1．张量的定义

若某种量按照两个逆变矢量的乘积，即

进行变换，以这种规律变换的个构成T的9个分量，则称T为二阶逆变张量。

若某种量按照两个协变矢量的乘积，即

进行变换，以这种规律变换的个构成T的9个分量，则称T为二阶协变张量。设是空间的维数，N是某种量的阶数，该量具有个分量，对每个上标像逆变矢量一样变换，而对每个下标像协变矢量一样变换，即

式中，是p+q阶混合张量，其中有p个逆变指标，q个协变指标。式（1.1.21）表示混合张量T从S坐标系变换到坐标系的变换规律，可以简写为

由此可见，张量是矢量的推广。

标量可看作0阶张量，它只有个分量，其值与坐标变换无关，即。

矢量可看作1阶张量，它有个分量，在欧氏3-维空间中有3个分量，在10-维时空中有10个分量。方阵是2阶张量。例如，在欧氏3-维空间中由于

所以空间度规张量为

而在闵氏4-维空间（又称伪欧氏空间）中，由于

所以度规张量是具有个分量的4维2阶张量：

这是一个对称张量。电磁场张量为

式中，根据麦克斯韦方程得到的不等于零的6个值是

式（1.1.25）是一个4维2阶反对称张量。满足

的张量称为反对称张量，其左上至右下的对角线上的元素全为零。令i=j，得

此时对称张量满足条件：

在物理中，除度规张量、电磁场张量之外，还有连续介质的应力张量、刚体的惯量张量、瞬时角速度张量、能量-动量张量、曲率张量等。在量子理论中，张量的所有分量都称为算符，而张量本身称为张量算符。

2．张量的运算

1）张量的相等

类型、阶数和时空维数都相同的两个张量A和B在点处相等表示为

A=B

（1.1.26）

意指它们在任意坐标系中的分量在该点处相等。

2）张量的相加

类型、阶数和时空维数都相同的两个张量A和B之和表示为

C=A+B

（1.1.27）

意指它们在任意坐标系中的对应分量相加。例如，

说明任一张量都可分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。

3）零张量

零张量A=0意指它在任意坐标系中的所有分量都是零。

4）张量与标量的积

一个张量A与一个标量的积表示为

意指张量A在任意坐标系中的所有分量与标量的积，其结果是与A类型、阶数和时空维数都相同的张量。

5）张量的外积

在n-维空间中，A是L阶张量，其中有q个协变指标，p个逆变指标，共有个分量；B是M阶张量，其中有t个协变指标，r个逆变指标，共有个分量。二者的外积为

式中，C是一个L+M阶张量，它共有个分量，其中协变指标的个数为q+t，并且A的q个协变指标在前，B的t个协变指标在后；逆变指标的个数为p+r，并且A的p个逆变指标在前，B的r个逆变指标在后。例如，三维直角坐标系中的二阶张量与一阶张量的外积应该有个分量。为了计算简单，假设它们都是协变张量，则有

张量的外积不遵守交换律。

6）张量的缩并

设A为3阶张量，它在3-维空间中有个分量，即。若这些分量中第二、第三个指标相等，即m=n，则为，对m求和，并且令

即

于是原来的3阶张量通过缩并减少两个指标，变成一阶张量G，其只有3个分量。一般地，在张量的分量中进行选择性求和，可得到比原来的张量降低两阶的新张量，这种运算称为张量的缩并。缩并运算必须对一个协变指标和一个逆变指标进行；必须指明是对哪一对指标进行缩并；缩并可以连续进行，每缩并一次协变指标和逆变指标各减少一个。

7）张量的内积

先求张量A与B的外积，然后缩并一次的联合运算，称为A和B的内积，记作：

C=A·B

（1.1.30）

设A为n-维空间中的k阶逆变张量，B为n-维空间中的m阶协变张量，则C=A×B是一个n-维空间中的k+m阶混合张量，共有个分量，缩并一次之后成为k+m-2阶张量，分量的个数减少为。

8）张量的迹

设A为2阶张量，定义张量A的迹为A与度规张量g的双重内积，记作：

双重内积的实质是A与g内积的两次缩并，结果为标量，即

9）张量的微分

在欧氏空间中，将矢量A保持方向和长度不变地从P点平移到Q点，平移后矢量A的方向和长度仍保持不变，因为欧氏空间是均匀、平直的空间。但是在弯曲空间（如黎曼空间或罗氏空间）中，矢量的平移并非如此简单。

在弯曲空间中的P点，有逆变矢量，记作：

式中，是曲线坐标系中P点处的基矢量。将该矢量平移至点后记作：

式中，是曲线坐标系中点处的基矢量。所以，平移增量为

通常情况下，尽管

但是

从P点至点基矢量的增量为

将式（1.1.36）中的二阶偏导记作，其中是矢量平移前后各对应分量的联络系数，称为克里斯托菲算符。于是有

将式（1.1.37）代入式（1.1.36），得

将式（1.1.38）代入式（1.1.35），得

整理得

最后可得

这是逆变矢量的平移公式，协变矢量的平移公式为

我们知道，不论是逆变矢量还是协变矢量都是一阶张量。按照导数的定义，不难推导出逆变矢量的协变导数为

逆变矢量的协变微分为

协变矢量的协变导数为

协变矢量的协变微分为

2阶张量的协变导数分别为

推而广之，设张量A有m个逆变指标和k个协变指标，即

则其协变导数为

10）张量场的梯度

标量场和矢量场的梯度前面已经阐述过，那么张量场的梯度等于什么呢？若给定一个张量场，则它的梯度为梯度算符与张量场的积，即

这是一个比原张量场多1阶的张量场。

11）张量场的散度

张量场A的散度记作

这是一个比原张量场少1阶的张量场。因为梯度算符实为协变矢量，故一般定义为对A的最后一个逆变指标的缩并，即

例如，A是一个2阶逆变张量，其散度为

因为，式（1.46）又可写作

若A为2阶协变张量，则需要将协变指标上升为逆变指标再进行散度运算。

3．张量的性质

①2阶张量可以分解成对称部分和反对成部分，即

式中，。对于高阶张量，必须指明关于哪两个指标对称或反对称。

②对于张量A，将其行列互换得到的张量称为A的转置。可以证明，张量内积的转置等于各个张量转置的内积，即

③对于2阶张量A和B，若

则称A是B的逆，记作。可以证明，张量内积的逆等于各个张量逆的内积，即

④度规张量是两个基矢量内积的结果。和分别称为协变度规张量和逆变度规张量。协变度规张量和逆变度规张量互为共轭张量，即其分量的乘积非0即1。

⑤按照对称情况，张量可分为非对称张量、对称张量和反对称张量。

4．张量的几何意义

如果将标量理解为0阶张量，将矢量理解为1阶张量，那么0阶张量就是点张量，1阶张量就是线张量。标量描述的是坐标空间中的一个点，矢量描述的是坐标空间中的一条有向线段。更高阶的张量，如2阶张量、3阶张量、4阶张量等，应该称为面张量、体张量、超体张量等。

1）面张量

首先建立坐标系，如三维直角坐标系、三维柱面坐标系、三维球面坐标系、椭球坐标系、自然坐标系，这些坐标系的坐标轴互相正交，称为正交坐标系。也可建立非正交坐标系，如仿射坐标系。设某仿射坐标系具有4个坐标轴，坐标轴之间的交角不必是90°，每个坐标轴都有基矢量，所以共有4个基矢量，以表示。基矢量的长度也不必相同。这里我们设基矢量的逆变分量为

于是，在仿射坐标系中逆变矢量A可以写作：

式中，是A在仿射坐标系的坐标轴上以单位矢量测得的平行投影，该投影正是A的逆变分量。如果以倒易基矢量作为度量单位并且在倒易轴上平行投影，可得到A的协变分量。

4个坐标轴构成6个2-维坐标平面。设4-维仿射坐标系中有两个逆变矢量，即，其4-维叉积，即

在几何中表示以A和B为邻边的平行四边形的面积，面积的数值为S=，在6个坐标平面上的投影面积分别是

是一个4-维2阶张量，即

由于，所以式（1.51）是一个反对称张量，即，式（1.51）中只有6个分量独立，这正是上面列出的6个坐标平面上的投影面积。

2）体张量

两个4-维矢量的叉积构成一个以这两个4-维矢量为邻边的平行四边形，它在个坐标平面上的投影构成一个分量的4-维2阶反对称张量，该张量的6个不为零的分量恰是平行四边形在6个坐标平面上的投影。

设有3个4-维矢量，即

在4维仿射坐标系中，B与C的叉积，即

构成一个以B和C为邻边的平行四边形，该叉积再与矢量A点乘，即

便得到一个以矢量A、B与C为相邻棱的斜平行六面体，我们称其面为超曲面。此外，4-维仿射坐标系中的4个坐标轴中的每3个坐标轴构成个超平面。超曲面在每个超平面上的投影分别如下。

在面上记作，。

在面上记作，。

在面上记作，。

在面上记作，。

实际上，4-维仿射坐标系中的3个逆变矢量构成一个4-维3阶逆变张量，共有个分量：

这64个分量中，只有不等于零，凡是两个或者两个以上逆变指标重复的分量皆为零，即。

综上所述，我们可以把2阶张量称为面张量，把3阶张量称为体张量。推而广之，4个4-维矢量构成一个4-维体积，我们可称其为超体张量，等等。

1.1.3　旋量代数

1．旋量的引入与运算

1）旋量的引入

我们知道，在坐标变换下不变的量叫作标量；在坐标变换下按照固定方向变化的量叫作矢量；由多个矢量耦合而成的具有更多分量且在坐标变换下阶次变得更高的量叫作张量。旋量就是螺旋旋转的量，它是同时表示矢量的方向和位置的一组对偶矢量，如角速度和线速度、力和力矩。张量属于特殊的旋量。在3-维空间中，旋量由两个3-维矢量组成；在4-维空间中，旋量由两个4-维矢量组成。旋量有3种表示形式：对偶矢量、李代数、Plucker坐标。

什么是旋量的对偶矢量形式呢？旋量$由两个对偶的矢量组成，即

式中，S是旋量的原部，表示轴线方向的单位矢量，以3个方向的余弦表示，S=，；S0是旋量的对偶部，，其中，是旋量的螺距，又称节距。旋量的轴线和螺距实体图如图1.1所示。

轴线方程为

式中，r是旋量轴线上的任一点的位矢；r1是旋量轴线上的某一固定点的位矢。显然与旋量轴线的单位矢量S重合。如图1.2（a）所示，是轴线相对于原点的线距，。轴线的单位矢量S和线距确定了轴线的方向和位置。

改变坐标原点，旋量的原矢量S不会（发生变化），但是其对偶矢量会发生变化。若将旋量的原点从B点移至A点，如图1.2（b）所示，则对偶矢量由变为

式（1.1.56）就是旋量的迁移公式。

但是改变坐标原点，旋量轴线的方向并不随之改变；虽然旋量的对偶矢量改变，但旋量的原矢量与对偶矢量的内积不变。这称为旋量的两个不变量公理。

由旋量的对偶矢量形式可知：

所以得

按照式（1.1.57）进行旋量正交分解可知，旋量可分解为线矢量与耦合量之和。

例如，对于刚体运动，表示刚体运动状态的旋量包含运动旋量和力旋量，它们构成一对具有互相对偶或互易关系的旋量。刚体运动可以看作绕某条直线转动和沿该直线移动的矢量合成，相应的无穷小运动称为运动旋量；作用在刚体上的任一力系可分解为沿某条直线的力和绕该直线的力矩，这一由力和力矩组成的力系称为力旋量。

设刚体的运动旋量为，力旋量为，则KL(表示单位时间内作用在刚体上的力旋量对运动旋量做的功。当运动副为R、单位运动旋量为时，作用在刚体上的单位力旋量为，则KL(=0，表明沿转动副轴线的力对绕此轴线做纯转动运动的刚体不做功。

2）旋量的李代数形式

首先定义旋量的李括号：

式中，ξ1和ξ2是两个旋量，。满足式（1.1.58）的括号称为李括号。

所有可能的刚体运动变换，包括平移、旋转和反射变换构成一个李群，即SE(3)群。排除反射变换之后的SE(3)群描述刚体的位置姿态（简称位姿）：

式中，位矢；SO(3)是姿态矩阵。二者的乘积正是位姿SE(3)，相应的矩阵称为位姿矩阵：

刚体从A点运动到B点的运动坐标系如图1.3所示。

群是满足特定条件的事物的集合。设某类事物为一个集合G，则存在以下规律。

①乘法的封闭性，即若任意两个元素a,bG，则通过乘法，即K=ab得到的K仍然属于G。

②乘法结合律，即若a,b,cG，则(ab)c=a(bc)。

③存在单位元e，对于G中的任意元素g，均有ge=eg=g。

④存在逆元，即若G中的每个元素a均有逆元使得，则称G是一个群，如由G(1,-1,i,-i)构成的群、有理数群等。

设G为n-维流形，同时是一个具有单位元e的群，而e又是流形G中的一个点，则可取一个局部坐标邻域U包含e点，可以e点为原点在U中建立坐标系，。若U中3个元素a,b,c的坐标为

则群的乘法K=ab可以用相应坐标表示：

若这n个函数是连续、光滑、无限可微的，则称由它们构成的群G是n-维李群。例如，3维转动群SO(3)群就是一个李群。

李代数就是关于李群的泊松括号，其基本定义为

[A,B]=AB-BA

（1.1.61）

式中，A和B都是与李群对应的矩阵，其具有如下基本性质。

①反对称性：。

②线性：，，。

③满足雅可比恒等式：。

描述刚体运动变换的李群又称为位移群，其子群称为位移子群，共有12种。0-维空间的位移子群E表示刚体各部分之间刚性连接；1-维空间的位移子群R(N,u)、T(u)和H(N,u,P)分别表示沿单位矢量u并且过N点的转动、沿单位矢量u的移动和沿轴线(N,u)且节距为P的旋动；2-维空间的位移子群和C(N,v)分别表示在由单位矢量v和ω决定的平面中的移动和沿轴线(N,v)的圆柱运动。此外还有3-维空间的位移子群T、G(u)、S(N)、Y(ω,P)，4-维空间的位移子群X(ω)，以及6-维空间的位移子群D。

2．旋量的运算

1）一阶旋量

如同矢量的计算，旋量的计算也有逆变和协变之分。当坐标系做任意转动时，如果旋量的分量和做线性变换，即

则称为一阶逆变旋量。式中，为变换矩阵，其矩阵元是坐标轴旋转角的复函数，其行列式为1，即ad-bc=1。式（1.1.62）的逆变换为

当坐标系做任意转动时，如果旋量的分量和做线性变换，即

则称为一阶协变旋量。式中，是先对进行转置，然后取元素的共轭得到的，即是的厄米共轭矩阵。式（1.1.64）式的逆变换为

一阶旋量显然具有两个分量，其变换矩阵是由4个元素构成的二阶方阵。

共轭复数旋量也有逆变和协变之分，分别表示为

式中，附标带点的量是不带点的相应量的共轭复数。它们的变换规律如下。

逆变共轭复数旋量的变换和逆变换为

协变共轭复数旋量的变换和逆变换为

是单位模旋量变换矩阵，其矩阵元遵守规则；

附标带点的单位模旋量变换矩阵是附标不带点的单位模旋量变换矩阵的共轭矩阵，即

2）二阶旋量

二阶旋量是2个一阶旋量的乘积，具有4个分量。二阶协变旋量的变换为

二阶协变共轭复数旋量的变换为

逆变旋量和协变旋量可以通过附标的升降互相转换。为此，定义旋量度规为

即

对于一阶旋量，有

于是得到一阶旋量的逆变分量与协变分量的关系为

对于二阶旋量，有

于是得到二阶旋量的逆变分量与协变分量的关系为

3）运算法则

（1）乘法。两个一阶旋量相乘得到二阶旋量，一个二阶旋量与一个一阶旋量相乘得到三阶旋量。一般地，若干个旋量相乘得到一个新的旋量，其阶数等于各相乘旋量的阶数之和，其分量等于各相乘旋量的分量的乘积，其变换规律遵从各相乘旋量的分量的变换规律。设有一阶旋量、二阶旋量和则有

（2）缩并。由式（1.1.64）得

则

因为ad-bc=1，所以

类似地，对于共轭复数旋量，有

一般地，可以定义两个旋量的内积为

根据旋量乘法法则和不变量的定义，可以将旋量的逆变指标与协变指标缩并，从而将旋量的总阶数减少2。例如，。只有相同的协变指标与逆变指标才能缩并，带点的指标与不带点的指标不能缩并。

缩并运算具有下列性质。

①如果两个旋量满足关系式，则称它们对称。对称旋量的缩并等于零，即

②一个奇数阶的协变旋量与另一个相同奇数阶的逆变旋量的乘积叫作旋量的长度（绝对值）。奇数阶的旋量的长度（绝对值）等于零。

证明：由式（1.1.76）得，即，这说明一阶旋量的长度为零。如果，则，这说明三阶旋量的长度为零。推而广之，奇数阶的旋量的长度（绝对值）等于零。

③存在度规张量，同样存在度规旋量。度规旋量定义为

所以，结果为单位矩阵。于是可以用度规旋量升、降协变旋量或者逆变旋量的附标，以使协变旋量变为逆变旋量或者使逆变旋量变为协变旋量，即

同理可使复共轭协变旋量变为逆变旋量，或者使复共轭逆变旋量变为协变旋量。

④满足关系式的两个旋量称为反对称旋量。反对称旋量的缩并为

证明：

所以，

（3）旋微分。按照协变矢量的定义，矢量A由S坐标系变换到坐标系，其坐标由变换为，如果坐标的变换与标量ϕ的导数的变换相同，则称该矢量为协变矢量。我们曾经证明了洛伦兹变换

协变矢量的定义，所以在洛伦兹变换下，旋微分算符是协变矢量。

我们定义类似洛伦兹变换的新变换的二阶旋微分算符的变换矩阵和旋微分为

即

式（1.1.81）可概括为

（4）散度。选取类似洛伦兹变换的新变换的旋微分算符的变换矩阵为

利用T将二阶旋量算符转换为一阶的，即或，即

其逆变换为

由，以及式（1.1.84），可得旋量的散度表达式为

（5）电磁场方程的三种形式。

以Ψ描写的微观粒子的自旋为1/2的场称为旋量场。狄拉克方程，即

是描写自旋为1/2的电子、正电子、质子、中子、夸克和中微子等费米子的旋量场方程。式中，Ψ为粒子的波函数，由于它所描述的粒子自旋为1/2，粒子的状态只有0和π两种情况，所以Ψ有两个分量，即

是4行4列的狄拉克矩阵。

如果以矢量描述麦克斯韦电磁场方程组，则有

如果引入电磁场张量，即

则有张量形式的麦克斯韦电磁场方程组，即

如果引入4阶旋量，它与电磁场张量的关系是

则可得旋量形式的麦克斯韦电磁场方程组，即

洛伦兹条件为

注意，以上方程的空间条件均为欧氏空间或者伪欧氏空间。

若在弯曲空间中，则有4维弯曲空间中的狄拉克方程组，即

式中，是协变旋微分算符；和是旋量二分量波函数；是狄拉克粒子的静质量。式（1.1.92）的四分量形式是

式中，D、∆、δ旋微分算符；是旋系数，它们在不同的空间结构中具有不同的表示。

1.1.4　维拉宿代数

卡茨和穆迪分别在1967年和1968年推广了有限维复半单李代数，后来人们称这类代数为卡茨-穆迪代数。卡茨-穆迪代数是李代数的一个分支。在结构理论中，对非有限维卡茨-穆迪代数根系的描述，以及仿射李代数的实现都涉及卡茨-穆迪代数。在表示理论中，仿射李代数的可积表示，以及顶点算符的表示也都涉及卡茨-穆迪代数，并且发展出了卡茨-穆迪群和维拉宿代数及其表示理论。

维拉宿代数是一种无限维李代数，它出现在多种背景下。1909年Cartan将复数上的无限维线性紧致李代数进行简单分类，1940年前后Witt研究了Z/Pz群代数导致的李代数。这些代数统称为WiTT代数，或者称为无中心维拉宿代数。1970年维拉宿研究了WiTT代数的中心展开情况，他在超弦理论中构建了这类代数的基本框架。20世纪80年代维拉宿代数的表示理论得到充分研究，特别是维拉宿模和Fock模的结构被完全确定。

定义1　中心展开　令为K上的李代数，V为K-矢量空间，把V看作可交换李代数，恰当的顺序称为a的中心展开。如果存在，则称V为中心展开的中心。有时把u看作a的一个展开中心。

维拉宿代数是单位圆上由微分算符组成的李代数的中心拓展在复数域上的无穷维李代数，与卡茨-穆迪代数密切相关。

定义2　维拉宿代数　是李代数，生成元为，其满足以下对易关系：

其幺正表示描述两维共形场的对称性。

这里定义的维拉宿代数适用于描述微观量子，而描述宏观世界的维拉宿代数的经典形式为

以及

现在证明式（1.1.96）。对任一李代数，它在复数域C的中心展开满足：

式中，。在此定义下的维拉宿代数生成元满足以下对易关系：

式中，必须满足反对易关系，即。若定义生成元，即

满足，则比较函数的定义，得可以被设为0。对易子满足雅可比恒等式，即

所以，若，则必有，即唯一的非零中心展开的是，并且有。

计算雅可比恒等式可以得到下述递推公式：

其归一化条件为。

所以，唯一非零中心展开一维拉宿代数的生成元满足以下对易关系：

即